Thiết lập công thức Stirling

Giả sử sự tồn tại một hằng số C {\displaystyle C} sao cho:

n ! ∼ C n ( n e ) n {\displaystyle n!\sim C{\sqrt {n}}\,\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}} .

Bằng cách thay thế các giai thừa trong biểu thức trên bằng các tích phân Wallis, ta có:

W 2 p = π 2 ( 2 p ) ! ( 2 p p ! ) 2 ∼ π 2 C 2 p ( 2 p e ) 2 p ( 2 p C p ( p e ) p ) 2 = π C 2 p {\displaystyle W_{2p}={\frac {\pi }{2}}{\frac {(2p)!}{\left(2^{p}p!\right)^{2}}}\sim {\frac {\pi }{2}}{\frac {C{\sqrt {2p}}\,\left({\frac {2p}{\mathrm {e} }}\right)^{2p}}{\left(2^{p}C{\sqrt {p}}\,\left({\frac {p}{\mathrm {e} }}\right)^{p}\right)^{2}}}={\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}} .

So sánh với tiệm cận của tích phân Wallis thu được trước đó, ta có

C = lim p → ∞ π W 2 p 2 p = 2 π {\displaystyle C=\lim _{p\to \infty }{\frac {\pi }{W_{2p}{\sqrt {2p}}}}={\sqrt {2\pi }}} .

Do đó, ta suy ra công thức Stirling:

n ! ∼ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}} .

Tính π

Từ W 2 p ∼ W 2 p + 1 {\displaystyle W_{2p}\sim W_{2p+1}} , ta có

lim p → ∞ W 2 p + 1 W 2 p / π 2 = π 2 {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {W_{2p+1}}{W_{2p}/{\frac {\pi }{2}}}}={\frac {\pi }{2}}} .

Mặt khác:

W 2 p + 1 W 2 p / π 2 = ∏ k = 1 p 2 k 2 k + 1 ∏ k = 1 p 2 k − 1 2 k = ∏ k = 1 p 4 k 2 4 k 2 − 1 {\displaystyle {\frac {W_{2p+1}}{W_{2p}/{\frac {\pi }{2}}}}={\frac {\prod _{k=1}^{p}{\frac {2k}{2k+1}}}{\prod _{k=1}^{p}{\frac {2k-1}{2k}}}}=\prod _{k=1}^{p}{\frac {4k^{2}}{4k^{2}-1}}} .

Ta suy ra công thức tích Wallis:

∏ k = 1 ∞ 4 k 2 4 k 2 − 1 = π 2 {\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }{\frac {4k^{2}}{4k^{2}-1}}={\frac {\pi }{2}}} .